[录像三个一]用斜边直角边判定直角三角形全等 郭金花
发布时间：2013-11-14 11:03:37 来源：
用斜边直角边判定直角三角形全等课堂实录
实验中学 郭金花
（一）课前热身
师：判定三角形全等的方法有哪些？（复习一般三角形全等的四种判定方法。）
师：SSA能否判定一般三角形全等?
生：不能。可以画出反例图形（用投影演示SSA的反例图形）
师：如果三角形是直角三角形呢？
若这两个三角形是直角三角形，那么可不可以用边边角来判断它们全等呢？直角三角形全等的判定方法又有哪些呢？
分组活动：讨论直角三角形全等的判定方法（这个问题让学生思考分析讨论后回答，教师补充完善）
归纳得出：可用判定一般三角形全等的方法。
（学生活动）
练习：判断以下各组直角三角形是否全等，为什么?（学生口答）
(1)两直角边对应相等的两个直角三角形；
(2)一边和一锐角对应相等的两个直角三角形。
生：(1)判定两直角三角形全等时，直角相等是一个很重要的隐含条件。(2)由于直角三角形是特殊的三角形，所以一般三角形全等的四种判定方法对直角三角形都适用。(3)由于直角三角形与一般三角形相比增加了一个特殊条件——直角，因此，判定直角三角形全等的条件可减弱到两个，“sss”对直角三角形来说条件多余。
（二）探求新知：判定直角三角形全等的特殊方法。
师：对直角三角形中的两对对应元素进行分类，探求有无判定全等的其它方法。
除练习的(1)和(2)之外，还有以下两种情况：
①两锐角对应相等；（由教师和学生手中的含30°的直角三角板可说明它不成立。因此，判定直角三角形全等仍然至少需要一边对应相等。）
② 斜边和一直角边对应相等。
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.
(1)你能帮他想个办法吗？
生：方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角. (ASA)或(AAS)
师：(2) 如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
请大家通过画图寻找答案。
（师生互动）（画图得出公理。和学生一起画图做实验，根据三角形全等定义对公理进行验证）
动动手，画一画。已知两条线段（这两条线段长不相等），以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边，画一个直角三角形。
教师应注意启发学生选择合理的画图顺序来确定三角形的三个顶点。
说明：教师按照教材所述，详细板书画法并作图。
步骤：
1．画一线段AB，使它等于4cm；
2．画∠MAB＝90°；
3．以点B为圆心，以5cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C；
4．连结BC．
把我们刚画好的直角三角形剪下来，和同桌的比比看，这些直角三角形有怎样的关系呢？从中你发现了什么？__________________________________
生：重合，即全等。
师：你能总结一下吗？
生：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
师：画出的直角三角形存在且唯一，猜想“ssa”可用来判定两直角三角形全等，但不称为“ssa”，而由边角对应关系称为“斜边、直角边”。因此，可以作为判定公理，称为“斜边、直角边公理”，简写为“HL”。
师生互动：叙述公理，强调条件及格式
学生（概括出HL的内容）
公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(教师板书“hl公理”的内容，说明它实际上就是两边及其中一边的对角对应相等，但所对的角是直角，所以它只对直角三角形适用，对一般三角形并不一定成立。因此，在”HL公理”的使用过程中要突出直角三角形这个条件。)
斜边、直角边公理 (HL)推理格式
在Rt△ABC与Rt△A’B’C’中，
∵∠C=∠C′=90°
AB=A’B’
﹛
BC=B’C’
∴RT△ABC≌RT△A’B’C’(HL)
强调说明：
（1）、格式要求：先指出在哪两个三角形中证全等；再按公理顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论。
（2）、判定两个直角三角形全等的方法。
（3）、特殊三角形研究思想。
想一想:你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
归纳总结：直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.
（三）学以致用，例题讲解
例题：(课本例4) 如图19．2．18，已知AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，
求证Rt△ABC≌Rt△BAD．
证明∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ABC与△BAD都是直角三角形．
在Rt△ABC与Rt△BAD中，
∵ AB＝BA，
AC＝BD，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD（H．L）
说明：请一名学生口述，教师纠正后板书正确过程.
（四）巩固练习：
1. 如图1∠C= ∠D=Rt ∠，要证明△ACB≌△BDA ，至少再补充几个条件，应补充什么条件？把它们分别写出来。
如果教师能看到这类题目之间的联系，就可以灵活自由地设计一题多变的题目，在变化与联系中培养学生逻辑思维能力。
2.如图2 在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE。说明△EBC≌△DCB的理由。
(课本p43 练习)
（五）. 探索拓展链接生活：
（学生活动）
有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，两个滑梯的倾斜角有什么关系？
（六）、课堂小结：（师生共同总结）
师：通过这节课的学习你有何收获？
生：判定直角三角形全等的方法：5个（SAS、ASA、AAS、SSS、HL）在这些方法的条件中都至少包含一条边。
《用斜边直角边判定直角三角形》教学反思
《怎样判定三角形全等》是这一章的主要内容之一，在知识结构上,尺规作图中的角的平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形的判定等内容都要通过证明两个三角形全等来加以解决；在能力培养上,无论是逻辑思维能力,推理论证能力,还是分析问题解决问题的能力,都可在全等三角形的教学中得以培养和提高.探索三角形全等的条件不仅是《全等三角形》知识体系的重要组成部分，而且探索的过程中处处体现着“做数学”的思想。本节是《怎样判定三角形全等》第4课时的内容，是在学习了全等三角形的概念、性质以及“角边角”“边角边”“边边边”识别三角形全等的方法后展开的。
（1）由“先教后学”转向“先学后教
本节课开始，让同学们自己思考问题：判定三角形全等的方法有四种，如果这两个三角形是直角三角形，那么判定它们全等的方法有哪些呢？学生展开讨论，初步形成意见，然后由答疑。这样促进了学生学习，体现了以“学生为主体”的教育思想。
（2）在层次教学中培养学生的思维能力
本节课的层次主要表现为两个方面：一是对公理的多层次理解；二是综合练习的多层次变化。首先给出直接应用公理证明三角形全等的题目；然后给出变式题目；最后给出综合应用题目。这里注意两点：一是给出题目后先让学生独立思考，并按教材的形式严格书写。二是给出的综合题目有一定的难度，教学时，要注意引导学生分析问题解决问题的思考方法。
直角三角形全等的判定教学再设计
实验中学 郭金花
知识目标：
1、已知斜边和直角边会作直角三角形；
2、熟练掌握“斜边、直角边公理”，以及熟练地利用这个公理和判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等；
3、熟练使用“分析综合法”探求解题思路。
能力目标：
通过探究性学习，营造民主和谐的课堂气氛，初步学会科学研究的思维方法；通过一题多变、一题多解，培养学生的发散思维能力，增强学生的创新意识和创新能力；通过实践探究，培养学生读题、识图能力，提高学生观察与分析，归纳与概括的能力。
情感态度价值观：
通过对一般三角形与直角三角形全等判定方法的比较，初步感受普遍性与特殊性之间的辩证关系；在探究性学习活动中培养学生刻苦钻研、实事求是的态度，勇于探索创新的精神，增强学生的自主性和合作精神。
重点：
“斜边、直角边公理”的掌握和灵活运用。
难点：
数学语言的正确表达。
学习方法：
采用启发式和讨论式学习
过程设计：
（一） 提出问题，创设情景
1．说出判定一般三角形全等的依据，并说出它们的共同点。
2．判断：
如图，具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A′B′C′（其中∠C＝∠C′＝Rt∠）是否全等，在（ ）里填写理由；如果不全等，在（ ）里打“×”：（1）AC＝A′C′,∠A＝A′ （ ）
（2）AC＝A′C′，BC＝B′C （ ）
（3）AB＝A′B′，∠B＝∠B′ （ ）
（4）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ （ ）
（5）AC＝A′C′，AB＝A′B′ （ ）
3．问题：有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形是否全？
教师边提问边用符号写出判定三角形全等的依据。
判断（4）可用教师和学生手中的含的直角三角板说明它不成立
判断（5）如何用文字来叙述？谁能说得既简捷又清楚？
学生各自复习诊断，思考后回答
先安排一组复习诊断题，让学生练习，既起了诊断评价的作用，又为导入新课、创设思维情景奠定了基础。
（二）实验操作，探究结论
例1．如图，已知线段a 、 c。画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，一直角边CB＝a ，斜边AB＝ c。
教师引导学生动手做实验操作，并巡回辅导
学生看书、画图、剪纸、叠合、思考，并互相讨论、探索
学生通过看书、画图、剪纸、叠合、思考，参与公理的验证过程，这样既进一步强化学生对公理的认识，又能激发学生的学习兴趣，提高学生学习的主动性，培养学生的能力
（三）揭示课题，理解公理
1．判定两个直角三角形全等的公理：
斜边、直角边公理 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”）
2．注意：
（1）“HL”公理是仅适用于Rt△的特殊方法。因此，判断两个直角三角形全等的方法除了可以使用“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”外，还可以使用“HL”。
（2）应用HL公理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△。书写格式为：
在Rt△______和Rt△______中，
∴Rt△______≌Rt△______（HL）
教师讲解：“HL”的由来。
启发提问：在使用这个公理时同学们应注意什么？
学生思考、讨论、练习
通过教师对“HL”的讲解，既说明了“HL”的来历，又激发了学生学习英语的兴趣。
学生通过思考、讨论、练习，加深了对公理的认识和正确使用。
（四）巩固练习，反馈目标
1．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高，则______≌______。依据是______,BD＝______,∠BAD=______.
2．如图，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，若要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来。
教师启发学生归纳证明两个直角三角形全等的方法，掌握正确使用公理进行推理的方法。
学生练习，完成后相互评价、矫正。
第1、2小题，是“HL”公理的简单应用，使学生通过练习，逐步形成应用公理进行推理的基本技能。
（五）发散探究，能力提升
例：已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，CD、C′D′分别是高，并且AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′。
求证：△ABC≌△A′B′C′
变式1：若把例题中的∠ACB＝∠A′C′B′改为AB＝A′B′，△ABC与△A′B′C′全等吗？请说明思路。
变式2：若把例题中的∠ACB＝∠A′C′B′改为BC＝B′C′，△ABC与△A′B′C′全等吗？请说明思路。
变式3：：请你把例题中的∠ACB＝∠A′C′B′改为另一个适当条件，使△ABC与△A′B′C′仍能全等。试说明证明思路。
巡视指导，师生互动，启发学生分析探索充分条件。
分组讨论，发表意见，并请一个学生板演例题的证明过程。
这组变式训练题，首先变换题目条件，让学生探索结论是否成立；然后题目结论不变，让学生根据图形探索结论成立的条件，得到多种答案，使课堂气氛达到高潮。这样既进一步强化了学生对公理的认识，又可以训练学生的发散思维，培养灵活运用知识的能力，增强学生的创新意识和创新能力。
（六）归纳总结，检测反馈
归纳：
1．直角三角形全等的判定方法有四项依据：“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”“HL”其中，“HL”公理只适用判定直角三角形全等。
2．使用“HL”公理时，必须先得出两个直角三角形，然后证明斜边和一直角边对应相等。
反馈：
1．“HL”公理是：有＿＿＿＿相等的两个＿＿＿三角形全等。
2．在应用“HL”公理时，必须先得出两个＿＿＿三角形，然后证明＿＿＿＿＿＿＿对应相等。
3．如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，则图中全等的三角形对数为（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
必作题：P55第4 ~ 5题
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