[同课异构]“24．1．4 圆周角”课堂实录（郭佩佩）
发布时间：2012-12-18 16:12:29 来源：
人教版“24．1．4 圆周角”课堂实录与评析
实验中学 郭佩佩
一、目标
1．理解圆周角的定义．通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上；②两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角．
2．掌握圆周角定理及其推论．经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，培养合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证和用几何语言表达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力，同时对学生进行辩证唯物主义的教育．
3．通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法．
4．引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心．
二、教学过程设计
活动一：创设情景，引入概念，发现规律
师：（出示圆柱形海洋馆图片）
右图是圆柱形海洋馆的俯视图．海洋馆的前侧延伸到海洋里，并用玻璃隔开，人们站在海洋馆内部，透过其中的圆弧形玻璃窗可以观看到窗外的海洋动物．
如图是圆柱形的海洋馆横截面的示意图，表示圆弧形玻璃窗．同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，
师：同学甲的视角∠AOB的顶点在圆心处，我们称这样的角为圆心角．同学乙的视角∠ACB、同学丙的视角∠ADB和同学丁的视角∠AEB不同于圆心角，是与圆有关的另一类角，我们称这类角为圆周角．
师：观察∠ACB、∠ADB和∠AEB的边和顶点与圆的位置有什么共同特点？
生1：这三个角的共同点有两个：①顶点都在圆周上；②两边都与圆相交．
师：归纳得很准确，我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
（教师板书圆周角定义，并强调定义的两个要点，学生在学案上写出圆周角的定义．）
点评：从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质．
师：请同学们根据定义回答下面问题：在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？
（学生思考片刻之后，教师就每个图形分别请一位学生作答．）
点评：为了使学生更加容易地掌握概念，此处教师并排地呈现正例和反例，可以有利于学生对本质属性与非本质进行比较．
师：下面我们继续研究海洋馆的问题，设想你是一名游客，甲、乙、丙、丁四位同学的位置供你选择，你认为在哪个位置看到的海洋景象范围更广一些？
生2：（很自信地）当然是同学甲的位置可以看到更广的海洋范围了．
师：你是如何知道的？
生2：因为我发现∠AOB比∠ACB、∠ADB和∠AEB都大．
师：如果在乙、丙、丁三位同学的位置中选择，哪个位置看到的海洋范围更广一些？
生3：（停顿片刻）三个位置看到海洋范围的大小应该是一样的．
师：这你又是如何知道的？
生3：我也是观察得到的．
师：有句话说“看到的未必是真实的”，请同学们验证你们的说法，并与同伴交流．
（学生开始动手操作验证：有的借助量角器，用度量的方法进行验证；有的采用折叠重合的方法进行验证……）
生4：(兴奋地惊叫着……)老师，我发现了：同学乙、丙、丁的视角∠ACB、∠ADB和∠AEB相等，同学甲的视角∠AOB比其他同学的视角都大，是它们的2倍!
（其他同学也都兴奋得不得了，教室里顿时一片欢腾）
点评：引导学生经历观察、猜想、操作、分析、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的性质，感知基本几何事实，初步体会两种数量关系：①同弧所对的圆周角和圆心角的关系；②同弧所对的圆周角的关系．
师：下面，老师用计算机进一步验证我们刚才所得到的结论：
（教师开始在计算机上进行验证．）
首先采用《几何画板》的度量功能，量出∠AOB、∠ACB、∠ADB和∠AEB，发现：∠AOB最大，∠ACB=∠ADB=∠AEB，接着，采用计算功能，计算∠ACB和∠AOB的比值，发现：∠ACB：∠AOB=1：2．
然后教师分别从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化：①拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；②改变圆心角的度数；③改变圆的半径大小．
点评：教师使用《几何画板》做进一步演示与验证，用几何动态的语言来研究圆周角与圆心角的关系，在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解圆周角与圆心角的关系．
师：既然这样，我们请一位同学把所发现的结论用文字语言表述一下．
生5：同弧所对的圆周角相等，并且都等于圆心角的一半．
生6：他的说法不准确，应该是：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，并且都等于这条弧所对的圆心角的一半．丢掉了“在同圆或等圆中”和“这条弧所对的”这两点．
师：前一位同学总结得很好，但后一位同学总结得更准确，我们要学习他们这种严谨治学的态度和精神．
点评：这里教师把直观操作与逻辑推理有机结合，使将要进行的推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续．
活动二：用分类讨论的方法证明定理
师: 为了更好地说明结论的正确性,下面我们探究其论证方法．先请同学们在右图的⊙O中尽可能多地画所对的圆周角,并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系?
（学生画图,教师巡视,在同学们所画的图形中发现圆心与圆周角的三种位置关系的例子,并在展示台上演示．）
生7:我发现,圆心与圆周角有三种位置关系,即圆心可能在圆周角的一边上,可能在圆周角的内部,也可能在圆周角的外部．
师:下面老师借助计算机进行动画演示,观察并验证你发现的三种位置关系．
教师演示,并依次归纳出三种位置关系:
点评：以动态演示的方式，帮助学生发现并理解圆心与圆周角的三种位置关系，为分情况证明圆周角定理奠定基础．此处分类的标准是关键，教学中，让学生通过合作探究，学会运用分类讨论的数学思想研究问题，培养学生思维的完整性和深刻性．
师:圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
| 第一种情况 |
| 第二种情况 |
| 第三种情况 |
（学生先独立思考, 然后在同伴间悄悄交流自己的思路．）
生8：选择第一种情况进行证明，因为圆心在圆周角的一边上，是最简单的一种情况．因为圆心在圆周角的一边上，所以AC是圆的直径,由同圆半径相等可知，OC=OB，所以∠C=∠B，根据定理“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得，∠AOB=∠C+∠B=2∠C，即同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
师：证明得非常好，掌声给予鼓励！
师：当圆心在圆周角的一边上的时候，圆周角∠ACB的边AC部分就是⊙O的直径，因此给证明思路的寻找带来了不少方便，当圆心不在圆周角的边上时，比如在角的内部，沿CO对折⊙O，展开后你有什么发现？对该情况下命题的证明有哪些启示？
（学生开始对折圆形纸片，观察，分析，交流……）
生9：由对折发现，可以转化为第一种情况的证明，即，如果做过点C的直径CD，那么，由(1)中的结论可知：
∠ACD=∠AOD，∠BCD=∠BOD，两式相加即可得到∠ACB=∠AOB．
师：很好！请同学们在学案上写出这种情况下的证明过程，之后完成最后一种情况的证明，同伴之间交流自己的证明思路．
（学生完成证明过程，思考交流后一种情况的证明思路．在展示台上展示学生的证明过程，教师做思路和规范性点评．）
点评：在本段的教学中，教师注意突出图形性质的探究过程，重视学生主体地位的落实，通过观察度量、实验操作、图形变换、合情推理来探索图形的性质，从而让学生学会分析问题和解决问题的方法．另外，教师尽可能地从数学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号语言”进行描述，以强化对数学知识的学习与理解，加强数学语言的运用与表达．
师：通过上面的证明，我们得到：同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．其实，等弧的情况下该命题也是成立的，命题“同弧或等弧所对的圆周角相等”也是正确的，想一想为什么？
（教师板书）
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
活动三：巩固练习，拓展性质
1、如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4各内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
2、如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°，则∠D=____，∠O=____．
3、如图，等边△ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，则∠BDC=____．
（学生独立思考，交流，回答问题，教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果．）
点评：习题的作用是将基本知识技能化，通过技能的训练帮助学生理解基本知识．比如在第3题中，学生要求∠BDC，首先要根据定义判断这个角是圆中的什么角？要求它的值应该建立与哪个量的关系？（弧）借助于这个量又可以与谁相联系？（∠A）通过这样的转化考察了学生对定理的理解和应用，并使学生在从复杂的图形中分解出基本图形的训练中，培养空间识图能力．
活动四：课堂小结，巩固反思
师：下面我们进行课堂小结与反思：请你选择下面一个或几个关键词谈本节课的体会：知识、方法、思想、收获、喜悦、困惑、成功……
生10：我选择关键词：知识．这节课的学习圆周角的定义和圆周角的定理，知道圆周角有两个要点，同弧对的圆周角式相等的关系，圆心角和圆周角是二倍的关系．
生11：我选择“方法”和“思想”．通过这节课的学习，学到了全面考虑问题的方法，学会了从特殊到一般的解决问题的方法，渗透了分类和转化的数学思想．
生12：这节课的学习，我感到很高兴，因为我学到了好些解决问题的方法，更重要的是，老师的提问和鼓励使我认识到自己的能力，相信一定能学好这门课！
……
师：同学们都反思总结得很好，真诚希望在今后的学习中能一如既往地养成勤反思多总结的好的学习习惯，使我们的学习成绩更上一层楼．
布置作业：P87页2、3题，习题24．1第4、5、12题．
点评：通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感．
三、反思
上完本节课后，感觉本节的教学难点是：列举典型的、贴近学生生活实际的例子，通过设计有效的、有思维含量的数学问题，激活学生的数学思维，引导探索圆周角的性质，理解分类讨论证明数学命题的思想和方法．
在教学中，为帮助学生更好地探索发现圆周角与同弧所对的圆心角的关系，在学生动手操作的基础上，利用《几何画板》的度量功能和动画功能，准确、全面验证在试验操作中发现的结论，直观、形象地展现了同弧所对的圆周角与圆心角及同弧所对的圆周角之间的关系，感受过程的真实性，增强了学生的参与程度，提高了学习的积极性．
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