[同课异构] 《圆周角》课堂实录（李新兵）
发布时间：2013-01-09 11:17:33 来源：
《圆周角》课堂实录
实验中学 李新兵
教学目标：
1．理解圆周角的定义．通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上；②两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角．
2．掌握圆周角定理及其推论．经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理的探索过程，培养合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证和用几何语言表达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力，同时对学生进行辩证唯物主义的教育．
过程与方法：
通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法．
情感态度价值观：
引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心．
二、教学过程设计
活动一：创设情景，引入新课
师：（出示圆柱形海洋馆图片）
右图是圆柱形海洋馆的俯视图．海洋馆的前侧延伸到海洋里，并用玻璃隔开，人们站在海洋馆内部，透过其中的圆弧形玻璃窗可以观看到窗外的海洋动物．
如图是圆柱形的海洋馆横截面的示意图，表示圆弧形玻璃窗．同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，
师：同学们，这是什么角？
师：甲的视角∠AOB的顶点在圆心处，我们称这样的角为圆心角．乙的视角∠ACB、丙的视角∠ADB和丁的视角∠AEB不是圆心角，它们的顶点在圆周上，我们称这类角为圆周角．
师：观察∠ACB、∠ADB和∠AEB的边和顶点与圆的位置有什么共同特点？
生：这三个角的共同点有两个：①顶点都在圆周上；②两边都与圆相交．
师：归纳得很准确，我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
（教师板书圆周角定义，并强调定义的两个要点，学生在学案上写出圆周角的定义．）
师：请同学们根据定义回答下面问题：在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？
（学生思考片刻之后，教师就每个图形分别请一位学生作答．）
师：设想你是一名游客，甲、乙、丙、丁四位同学的位置供你选择，你认为在哪个位置看到的海洋景象范围更广一些？
生：当然是同学甲了．
师：为什么？
生：因为我发现∠AOB比∠ACB、∠ADB和∠AEB都大．
师：那么如果在乙、丙、丁三位同学的位置中选择，哪个位置看到的海洋范围更广一些？
生：三个位置看到海洋范围的大小应该是一样的．
师：这又是为什么呢？
生：我也是观察到三个角大小相同．
师：他们说的对么？让我们来验证一下．
（学生开始动手操作验证：有的借助量角器，用度量的方法进行验证；有的采用折叠重合的方法进行验证……）
生：老师，我发现了：同学乙、丙、丁的视角∠ACB、∠ADB和∠AEB相等，同学甲的视角∠AOB比其他同学的视角都大，是它们的2倍!
师：下面，老师用电脑演示一下验证我们刚才的结论：
（教师开始在计算机上进行验证．）
首先采用《几何画板》的度量功能，量出∠AOB、∠ACB、∠ADB和∠AEB，发现：∠AOB最大，∠ACB=∠ADB=∠AEB，接着，采用计算功能，计算∠ACB和∠AOB的比值，发现：∠ACB：∠AOB=1：2．
然后教师分别从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化：①拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；②改变圆心角的度数；③改变圆的半径大小．
师：我们把所发现的结论用文字语言表述一下．谁来说一说？
生：同弧所对的圆周角相等，并且都等于圆心角的一半．
生：他的说法不准确，应该是：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，并且都等于这条弧所对的圆心角的一半．丢掉了“在同圆或等圆中”和“这条弧所对的”这两点．
师：前一位同学很注意观察，总结得较好，而后一位同学总结得更为准确，
活动二：用分类讨论的方法证明定理
师: 为了更好地说明结论的正确性,下面我们来证明一下
师：先请同学们在右图的⊙O中尽可能多地画所对的圆周角,并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系?
（学生画图,教师巡视,在同学们所画的图形中发现圆心与圆周角的三种位置关系的例子,并在展示台上演示．）
生:我发现,圆心与圆周角有三种位置关系,即圆心可能在圆周角的一边上,可能在圆周角的内部,也可能在圆周角的外部．
师:下面老师动画演示一下,观察并验证你发现的三种位置关系．
教师演示,并依次归纳出三种位置关系:
师:圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
| 第一种情况 |
| 第二种情况 |
| 第三种情况 |
（学生先独立思考, 然后在同伴间悄悄交流自己的思路．）
生：选择第一种情况进行证明，因为圆心在圆周角的一边上，是最简单的一种情况．因为圆心在圆周角的一边上，所以AC是圆的直径,由同圆半径相等可知，OC=OB，所以∠C=∠B，
师：证明得非常好！
师：当圆心在圆周角的一边上的时候，圆周角∠ACB的边AC部分就是⊙O的直径，因此给证明思路的寻找带来了不少方便，当圆心不在圆周角的边上时，比如在角的内部，沿CO对折⊙O，展开后你有什么发现？
（学生开始对折圆形纸片，观察，分析，交流……）
生：由对折发现，可以转化为第一种情况的证明，即，如果做过点C的直径CD，那么，由(1)中的结论可知：
∠ACD=∠AOD，∠BCD=∠BOD，两式相加即可得到∠ACB=∠AOB．
师：很好！请同学们写出证明过程，之后完成最后一种情况的证明。
（学生完成证明过程，思考交流后一种情况的证明思路．）
师：通过上面的证明，我们得到：同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．其实，等弧的情况下该命题也是成立的，命题“同弧或等弧所对的圆周角相等”也是正确的，想一想，这是为什么？
（教师板书）
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
活动三：巩固练习，拓展性质
1、如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4各内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
2、如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°，则∠D=____，∠O=____．
3、如图，等边△ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，则∠BDC=____．
（学生独立思考，交流，回答问题，教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果．）
活动四：课堂小结，巩固反思
师：今天我们学习了什么？
生：这节课的学习圆周角的定义和圆周角的定理，知道圆周角有两个要点，同弧对的圆周角式相等的关系，圆心角和圆周角是二倍的关系．
生：通过这节课的学习，学到了全面考虑问题的方法。
生：这节课的学习，我感到很高兴，因为我学到了好些解决问题的方法。
师：同学们总结得很好，真诚希望我们在今后的学习中能养成勤反思多总结的学习习惯．
布置作业：P87页2、3题，习题24．1第4、5、12题．
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