[录像三个一]反比例函数的图象和性质 李庆丰
发布时间：2013-04-24 09:13:18 来源：
反比例函数的图象和性质------课堂实录
李庆丰
（一）创设情境，引入新知
问题1 我们已经学习了正比例函数的哪些内容？是如何研究的？
以正比例函数为例。
师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，并将答案填写在黑板的表格中，强调是从形状、位置、变化趋势三个方面去研究。
【设计意图】通过复习正比例函数的图象和性质，以及研究函数的一般方法，为学习反比例函数的图象和性质做好铺垫。
（二）观察探究，形成新知
问题2 反比例函数的图象是什么样的？以画出反比例函数的图象为例，教师引导学生经历列表、描点、连线的过程。
（1）列表（如表1）：
表1
| … | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … | |
| … | | | | | | | | | | | | | … |
列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即），同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或是太小，以便于描点和全面反映图象的特征；
（2）描点：一般情况下，所选的点越多图象越精确；
（3）连线：引导学生用平滑的曲线，按照自变量从小到大的顺序连接各点，注意图象末端的延伸和延伸的趋势，得到反比例函数的图象。
师生活动：教师引导学生列表、描点、作图；展示学生作品；教师板书示范，并通过课件演示反比例函数图象的生成过程，给出双曲线的名称，并渗透它的形态特征.
【设计意图】图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数先有一个初步的感性认识。
问题3 请观察反比例函数的图象，有哪些特征？
师生活动：教师引导学生观察，类比正比例函数，归纳说出反比例函数图象的形状、位置、变化趋势及其函数的增减性。
【设计意图】通过类比正比例函数，引导学生观察图象的形状、位置、变化趋势，感受“形”的特征，感受自变量与函数值之间变化与对应的关系，使学生对反比例函数的图象和性质形成初步的印象。
问题4 是不是所有的反比例函数的图象都具有这样的特征呢？
以讨论反比例函数为例。在教师引导下，学生借鉴画反比例函数的图象的经验，自主画出反比例函数的图象，教师巡视指导。作图完成后，学生展示作品，并说出该函数图象的特征，教师适时点评。
【设计意图】通过再次画出反比例函数的图象，使学生巩固前面已获得的作图经验，提高学生利用描点法画出函数图象的能力。同时，在总结说出反比例函数的图象特征的过程中，使学生增强对图象的观察、感知、分析、概括的能力，以及经历通过画出函数图象，并利用图形研究函数性质的过程。
问题5 反比例函数与的图象有什么共同特征？有什么不同点？是由什么决定的？
师生活动：教师启发学生对比、思考，组织学生讨论，引导学生关注反比例系数“”的作用。
【设计意图】学生通过观察比较，总结这两个反比例函数图象的特征，在活动中，让学生自己去观察、发现、总结，实现学生主动参与，探究新知的目的。
问题6 当取不同的值，上述结论是否适用于所有的反比例函数？
教师演示课件，赋予不同的值，观察所得到的不同的反比例函数图象的特征，引导学生归纳“变化中的规律性”。然后，从解析式的角度，引导学生分析上述结论的合理性。
【设计意图】通过计算机动态演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程，加强对反比例函数图象“特征”和函数“特性”以及它们之间的相互转化关系的认识。
问题7 总结反比例函数（）图象的特征和性质。
教师帮助学生梳理、归纳，填写表2：
表2
| 函数 | 图象形状 | 图象位置 | 图象变化趋势 | 函数增减性 | |
| | | | | | |
| | | | | ||
【设计意图】通过归纳，培养学生抽象概括能力。
（三）巩固提高，应用新知
课堂练习
1。下列图象中，可以是反比例函数的图象的是（ ）。
2。如图1，已知反比例函数的图象如图所示，则 0，且在图象的每一支上，值随的增大而 。
3. 已知反比例函数的图象过点（2，1），则它的图象在 象限，且 0。
4. 若反比例函数（）的图象上有两点(，)，(，)，且，则的值是（ ）。
（A）正数 （B）负数 （C）非正数 （D）非负数
【设计意图】通过一系列的练习，可以实现知识向能力的转化。
（四）归纳反思，深化新知
问题8 通过本节课的学习，你有哪些收获？
学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴涵的数学思想方法。
【设计意图】教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对反比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯。
布置作业
1.基础达标：教材中练习的第1、2题，习题17.1的第3题。
2.反思提升：将反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）进行对比，可以从以3个方面考虑：
（1）两种函数的解析式有何相同与不同？两种函数的图象的特征有何区别？
（2）在常数相同的情况下，当自变量变化时，两种函数的函数值的变化趋势有什么区别？
（3）两种函数中的取值范围有何不同？常数的符号改变对两种函数图象所处象限的影响如何？
反比例函数的图像和性质教学反思
李庆丰
一、关于数形结合的处理
在“反比例函数的图象和性质”这一课的教学过程中，“数”与“形”的转化，是贯穿始终的一条主线。主要反映在以下三个方面。
第一，反比例函数的图象和性质，是“数”与“形”的统一体，由“解析式”到“作图”，再到“性质”，都充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，是数形结合思想的具体应用。本课的教学设计与实施中，通过“描点法”作图、观察几个具体的反比例函数的图象、课件演示展示“由动点生成函数图象”，很好地反映了“数”、“形”之间的这种内在的联系。
第二，在“列表取值为何不能取零”、“反比例函数的图象为何与坐标轴不会相交”、“特殊的反比例函数性质能否推广到一般”这几个问题中，如果单纯依靠观察图象，是无法得出具有“说服力”的结论的，这就需要“回归”解析式，再引导学生进行分析。即我们可以借助直观图形，帮助我们思考相关的问题，但仅有图形的直观是不够的，必须考虑“已经”形式化的“数”的本质“特征”，使“数”、“形”之间达到统一。于是，在教学中，我们同样关注了对“解析式”的分析。
第三，在总结得出反比例函数的图象和性质之后，我们为学生提供了一组题目，目的也是为学生提供一个体会“数形结合”、应用“数形结合”分析问题的平台，使学生经历利用“图形直观”来认识、解决与函数有关问题的过程。
二、关于教学效果的反思
在实际授课过程中，教学环节的展开是自然、顺畅的，如“观察探究，形成新知”环节，学生能够在教师的引导下，说出一次函数的图象特征及性质，并通过类比一次函数的研究方法，完成列表、描点、画出反比例函数图象的过程，也可以通过观察所画出的反比例函数的图象，得出其图象的“特征”和函数的“性质”。
然而，由于学生刚刚接触反比例函数的图象，图象的外在形式（双曲线）与一次函数的图象（直线）之间存在较大的差异，学生还缺乏对反比例函数图象“整体形象”的把握。一方面，当反比例系数的绝对值较大时，部分学生画出的图形，不能完整地反映其图象“渐近”的特征；另一方面，在应用反比例函数（增或减）的性质，比较反比例函数的两个函数值的大小时，学生还不能有意识地从“自变量的正负”来考虑问题，这致使学生在课后“目标检测”时，对部分问题的解决出现偏差。
此外，展开本节课学习的一个重要的方法，就是“类比”。在教学过程中，教师极力引导学生要“类比一次函数学习的方法”，最大限度地调动学生“合情推理”的因素，以确保学习知识的“正迁移”效应。事实上，这样也会带来另一些负面的影响，学生往往对属于一次函数和反比例函数“共性”的结论印象比较深刻，而对于新的反比例函数“个性”的结论，在理解上反而会受到一些干扰。
17．1．2反比例函数的图象和性质
| 教学目标 | 知识与技能 | 1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题 3．深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法 |
| 过程与方法 | 经历观察、分析，交流的过程，逐步提高从函数图象中感受其规律的能力。 | |
| 情感态度与价值观 | 提高学生的观察、分析的能力和对图形的感知水平，使学生从整体上领悟研究函数的一般要求。 | |
| 重点 | 理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题 | |
| 难点 | 学会从图象上分析、解决问题，理解反比例函数的性质。 | |
教学过程
| 教学设计 | 备 注 |
| 一：激情导入： 1．什么是反比例函数？ 2．反比例函数的图象是什么？有什么性质？ | |
| 二：自主探究： 例1．（补充）若点A（－2，a）、B（－1，b）、C（3，c）在反比例函数（k＜0）图象上，则a、b、c的大小关系怎样？ 分析：由k＜0可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，因为A、B在第二象限，且－1＞－2，故b＞a＞0；又C在第四象限，则c＜0，所以 b＞a＞0＞c 说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”，否则，笼统说k＜0时y随x的增大而增大，就会误认为3最大，则c最大，出现错误。 此题还可以画草图，比较a、b、c的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。 例2．（补充）如图， 一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数的图象交于A（－2，1）、B（1，n）两点 （1）求反比例函数和一次函数的解析式 （2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围 分析：因为A点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式，又B点在反比例函数的图象上，代入即可求出n的值，最后再由A、B两点坐标求出一次函数解析式y＝－x－1，第（2）问根据图象可得x的取值范围x＜－2或0＜x＜1，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。 例3：已知变量y与x成反比例，且当x=2时y=9（1）写出y与x之间的函数解析式和自变量的取值范围。 分析：要确定一个反比例函数的解析式，只需求出比例系数k。如果已知一对自变量与函数的对应值，就可以先求出比例系数，然后写出所要求的反比例函数。 三、合作交流 例3、设汽车前灯电路上的电压保持不变,选用灯泡的电阻为R(Ω)，通过电流的强度为I(A)。 （1）已知一个汽车前灯的电阻为30 Ω，通过的电流为0.40A，求I关于R的函数解析式，并说明比例系数的实际意义。 （2）如果接上新灯泡的电阻大于30 Ω，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？ 在例3的教学中可作如下启发： （1）电流、电阻、电压之间有何关系？ （2）在电压U保持不变的前提下，电流强度I与电阻R成哪种函数关系？ （3）前灯的亮度取决于哪个变量的大小？如何决定？ 先让学生尝试练习，后师生一起点评。 | |
| 四：精彩点拨： 1.当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度p成反比例。且V=5m3时，p=1．98kg／m3 （1）求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围。 （2）求V=9m3时，二氧化碳的密度。 2、已知反比例函数y=k/x（k≠0）的图像经过点（4，3），求当x=6时，y的值。 3、已知y－2与x+a（其中a为常数）成正比例关系，且图像过点A（0，4）、B（－1，2），求y与x的函数关系式 4、已知一次函数y= -x+8和反比例函数y = （1） k满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？ ( 2 ) 如果其中一个交点为（－1，9），求另一个交点坐标。 | |
| 五：拓展练习 1．已知反比例函数的图象在每个象限内函数值y随自变量x的增大而减小，且k的值还满足≥2k－1，若k为整数，求反比例函数的解析式 2．已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2 ， 求（1）一次函数的解析式； （2）△AOB的面积 答案：1．或或 2．（1）y＝－x＋2，（2）面积为6 | |
| 课后作业：课本46页习题第7、8题 | |
| 课后反思： | |
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